题目内容
(本小题13分) 已知数列{a}满足0<a, 且 (nN*).
(1) 求证:an+1≠an;
(2) 令a1=,求出a2、a3、a4、a5的值,归纳出an , 并用数学归纳法证明.
见解析。
解析试题分析:(1)采用反证法,若存在正整数n使an+1=an,即推出矛盾。
(2)运用归纳猜想的思想得到其通项公式即可。再加以证明其正确性。
解:(1) 证明:(采用反证法).若存在正整数n使an+1=an,即, 解得an=0, 1.
若an=0, 则 an=an-1=…=a2=a1=0, 与题设a1>0;
若an=1, 则an=an-1=…=a2=a1=1, 与题设a1≠1相矛盾.
综上所述, an+1≠an成立.
(2) a1=、a2=、a3=、a4=、a5=,猜想: an=,n∈N*.
下面用数学归纳法证明:
①n=1时, 不难验证公式成立;
②假设n=k(k∈N*)时公式成立, 即ak=
则n=k+1时, a k+1==
故此时公式也成立
综合① ②据数学归纳法知公式成立.
考点:本题主要考查了数列的递推关系式的运用,以及数学归纳法证明命题的运用。
点评:解决该试题的关键是利用数列的前几项得到其通项公式,然后运用数学归纳法分两步证明。
练习册系列答案
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