题目内容
11．△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a，b，c，给出下列命题：①若cosBcosC＞sinBsinC，则△ABC一定是钝角三角形；
②若sin2A+sin2B=sin2C，则△ABC一定是直角三角形；
③若bcosA=acosB，则△ABC为等腰三角形；
④在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；
⑤若△ABC为锐角三角形，则sinA＜cosB．
其中正确命题的序号是①②③④．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
分析 ①利用两角和差的余弦公式进行化简即可；
②利用正弦定理化角为边可得a2+b2=c2，从而判定三角形的形状
③利用正弦定理化边为角整理可得sin（B-A）=0，即可得出结论
④先根据大角对大边得到a＞b，再结合正弦定理化边为角即可得到结论．
⑤利用三角函数的诱导公式进行化简即可．
解答 解：①若若cosBcosC＞sinBsinC，则若cosBcosC-sinBsinC=cos（B+C）＞0，
即-cosA＞0，cosA＜0，则∠A为钝角，故△ABC一定是钝角三角形，正确．
②若sin2A+sin2B=sin2C，则由正弦定理得a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形，正确，
③若bcosA=acosB，则由正弦定理得2rsinBcosA=2rsinAcosB，即sin（B-A）=0，则A=B．则△ABC为等腰三角形，正确，
④在△ABC中，若A＞B则a＞b，即sinA＞sinB成立，正确；
⑤若△ABC为锐角三角形，则0＜A＜$\frac{π}{2}$，0＜B＜$\frac{π}{2}$，0＜C＜$\frac{π}{2}$，即0＜π-A-B＜$\frac{π}{2}$，
即A+B＞$\frac{π}{2}$，∴B＞$\frac{π}{2}$-A，
∴0＜$\frac{π}{2}$-A＜B＜$\frac{π}{2}$，即cos（$\frac{π}{2}$-A）＞cosB，
∴0＜cosB＜sinA＜1，故⑤错误，
故正确命题的是：①②③④，
故答案为：①②③④
点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及正弦定理以及三角函数的诱导公式，两角和差的余弦公式，考查学生的推理能力．
练习册系列答案
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16．
如图，为了测得河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测得CD=a，∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠BDC=105°，∠ADC=60°，则AB=（ ）
如图，为了测得河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测得CD=a，∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠BDC=105°，∠ADC=60°，则AB=（ ）| A． | $\frac{1}{2}$a | B． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a | C． | $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$a | D． | a |
20．设集合P={1，2，3，4}，Q={x|x2-x-2＜0，x∈R}，则P∩Q=（ ）
| A． | {1，2} | B． | {3，4} | C． | {1} | D． | {-2，-1，0，1，2} |