Question

已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数a、b∈R满足：

f(a·b)=af(b)+bf(a)，f(2)=2，a_n=(n∈N^*)，b_n=(n∈N^*)，考查下列结论

①f(0)=f(1)；                           ②f(x)是偶函数；

③数列{a_n}为等比数列；                 ④数列{b_n}为等差数列.

其中正确的结论是    (    )

A.①②③         B.①③④              C.①②④         D.①③

Answer 1

答案：B  【解析】分别考查各选项；①由f(a·b)=af(b)+bf(a),分别赋值令a=b=0得f(0)=0,a=b=1,得f(1)=0,故结论正确,(实质上由各选项都含有①可知该命题必正确)③由f(2)=2得f(2²)=f(2·2)=4f(2)=8,f(2³)=f(2·4)=2f(4)+4f(2)=8f(2)+4f(2)=12f(2)=24,…,f(2ⁿ)=2f(2^n-1)+2^n-1f(2)

=…=n·2ⁿ,故a_n=2ⁿ为等比数列；同理对④由于a_n==n为等差数列.