题目内容

【题目】已知函数f(x)=|x﹣2|﹣|x+1|.
(Ⅰ)解不等式f(x)+x>0;
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≤a2﹣2a在R上的解集为R,求实数a的取值范围.

【答案】解:(Ⅰ)不等式f(x)+x>0可化为|x﹣2|+x>|x+1|, 当x<﹣1时,﹣(x﹣2)+x>﹣(x+1),解得x>﹣3,即﹣3<x<﹣1;
当﹣1≤x≤2时,﹣(x﹣2)+x>x+1,解得x<1,即﹣1≤x<1;
当x>2时,x﹣2+x>x+1,解得:x>3,即x>3,
综上所述,不等式f(x)+x>0的解集为{x|﹣3<x<1或x>3}
(Ⅱ)由不等式f(x)≤a2﹣2a,
可得|x﹣2|﹣|x+1|≤a2﹣2a,
∵|x﹣2|﹣|x+1|≤|x﹣2﹣x﹣1|=3,
∴a2﹣2a≥3,即a2﹣2a﹣3≥0,解得a≤﹣1或a≥3,
故实数a的取值范围是a≤﹣1或a≥3
【解析】(Ⅰ)通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集,取并集即可;(Ⅱ)根据绝对值的性质,得到关于a的不等式,解出即可.
【考点精析】本题主要考查了绝对值不等式的解法的相关知识点,需要掌握含绝对值不等式的解法:定义法、平方法、同解变形法,其同解定理有;规律:关键是去掉绝对值的符号才能正确解答此题.

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