题目内容
【题目】给定数列.对
,该数列前
项
的最小值记为
,后
项
的最大值记为
,令
.
(1)设数列为2,1,6,3,写出
,
,
的值;
(2)设是等比数列,公比
,且
,证明:
是等比数列;
(3)设是公差大于0的等差数列,且
,证明:
是等差数列.
【答案】(1),
,
;(2)证明见解析;(3)证明见解析
【解析】
(1)求出及
的值,并结合
,可求出
,
,
的值;
(2)易知数列是递减数列,从而可知
时,
,
,可得
,且
,进而可得
,从而可知
为定值,即可证明结论成立;
(3)是等差数列,先用反证法证明
是单调递减数列,再用反证法证明
为数列
中的最大项,从而可知
,则
,进而可证明结论成立.
(1)由题意,,则
;
,则
;
,则
.
(2)因为是等比数列,公比
,且
,所以数列
是递减数列,
则时,
,
,所以
,且
,
所以时,
,
所以,即
是等比数列.
(3)由是公差大于0的等差数列,且
,可知
.
①先用反证法证明是递减数列,
假设不是递减数列,设
是第一个使得
成立的项,则
,
,所以
,即
,与
相矛盾,
所以是单调递减数列.
②再用反证法证明为数列
中的最大项,
假设不是数列
的最大项,即存在
使得
成立,
若时,满足
,则
,
,故
,与
矛盾,即
;
若时,满足
,则
,
,故
,与
矛盾,
所以为数列
中的最大项.
综上,是单调递减数列,且
为数列
中的最大项,
故,即
,
则时,
,
故,
所以是等差数列.
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