题目内容
【题目】如图,已知梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
,平面
平面
.
(1)求证:平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出线段
的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)存在,2.
【解析】
(1)根据题意,建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.得平面的法向量,求得
与法向量的数量积,即可证明
平面
;
(2)假设存在点满足题意,令
表示出
的坐标和点
坐标.利用直线
与平面
所成角的正弦值为
,可由向量的夹角运算求得
的值,进而表示出
求得
即可.
(1)证明:设中点为
.取
为原点,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴,
所在直线为
轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则,
,
,
,
,
,
设平面的法向量为
,
不妨设
,
又,
.
,
又平面
,
平面
.
(2)设,
,
,
,
又平面
的一个法向量为
,
,
,
或
,
当
时,
,
,
当时,
,
,
综上.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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