Question

20．设S_n是数列{a_n}的前n项和，已知a₁=4，a_n+1=S_n+3ⁿ，设b_n=S_n-3ⁿ．
（1）证明：数列{b_n}是等比数列，并求数列{b_n}的通项公式；
（2）令c_n=b_n+2-2log₂b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=${S}_{n}+{3}^{n}$，变形${S}_{n+1}-{3}^{n+1}=2（{S}_{n}-{3}^{n}）$，即b_n+1=2b_n，即可证明；
（2）c_n=2^n-1+2-2（n-1）=2^n-1-2n．再利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=S_n+3ⁿ，∴S_n+1-S_n=${S}_{n}+{3}^{n}$，
化为${S}_{n+1}-{3}^{n+1}=2（{S}_{n}-{3}^{n}）$，
又b_n=S_n-3ⁿ．
∴b_n+1=2b_n，b₁=S₁-3¹=1，
∴数列{b_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴b_n=2^n-1．
（2）解：c_n=b_n+2-2log₂b_n=2^n-1+2-2（n-1）=2^n-1-2n．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-2×$\frac{n（n+1）}{2}$
=2ⁿ-1-n²-n．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．