Question

【题目】设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点． （Ⅰ）证明：a2＞ ；
（Ⅱ）若 ，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）由y=k（x+1）（k≠0）得 ． 并代入椭圆方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0 ①
∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k2﹣4（3+k2）（3k2﹣k2a2）＞0，
∴ ．
（Ⅱ）解：设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由①，得 ，②
∵ ，而点C（﹣1，0），
∴（﹣1﹣x1 ， ﹣y1）=2（x2+1，y2），
得y1=﹣2y2代入②，得 ，③
∴△OAB的面积 = = ≤ = ，当且仅当k2=3，即 时取等号．
把k的值代入③可得 ，
将 及 这两组值分别代入①，均可解出a2=15．
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x2+y2=15
【解析】（1）把直线l的方程代入椭圆方程，由直线与椭圆相交于A、B两个不同的点可得△＞0，解出即可证明；（2）设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．利用根与系数的关系及向量相等得到y1 ， y2的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式∴△OAB的面积 及基本不等式的性质即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到a的值．
【考点精析】关于本题考查的椭圆的标准方程，需要了解椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能得出正确答案．