Question

已知函数，当时，；当（）时，.
（1）求在[0，1]内的值域；
（2）为何值时，不等式在[1，4]上恒成立.

Answer 1

(1)值域为；(2)当时，不等式在[1，4]上恒成立.

试题分析： （1）根据题意得到和是函数的零点且，然后得到解析式。
（2）令
因为上单调递减，要使在[1，4]上恒成立，只要求解g(x)的最大值即可。
由题意得和是函数的零点且，则（此处也可用韦达定理解）解得：
               ------------6分
(1)由图像知，函数在内为单调递减，所以：当时，，当时，.
在内的值域为       --------------- 8分
(2)令
因为上单调递减，要使在[1，4]上恒成立，
则需要，即
解得当时，不等式在[1，4]上恒成立.    ------12分
点评：解决该试题的关键是根据题意得到和是函数的零点且，进而求解得到解析式，进一步研究函数在给定区间的最值。