题目内容
(本小题满分14分) 如图,已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面CDAB, ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠BAD90º,BC
2,PA
AB
1.
(1)求证:PD⊥AB;
(2)在线段PB上找一点E,使AE//平面PCD;
(3)求点D到平面PBC的距离.
【答案】
h=
【解析】解:(1)∵PA⊥平面CDAB,AB平面ABCD,∴PA⊥AB, …………2分
又AB⊥AD,PAAD=A,∴AB⊥平面PAD,
…………3分
∵PD平面PAD,∴AB⊥PD.
…………4分
(2)取线段PB的中点E,PC的中点F,连结AE,EF,DF,
EF是△PBC中位线,∴EF∥BC,;
…………6分
又AD∥BC,,∴四边形EFDA是平行四边形,
…………8分
∴AE∥DF,又AE平面PDC,DF
平面PDC,∴AE∥平面PDC,
故线段PB的中点E是符合题意要求的点. …………10分
(3)设点D到平面PBC的距离为h.∵BC⊥AB,BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB,∴BC⊥PB,
PB=,S△PBC=
PB·BC=
,S△BDC=
BC·AB=1
…………12分
∵VP-BDC=VD-PBC,即S△BDC·PA=
S△PBC·h ,∴h=
.
…………14分

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