题目内容
【题目】某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立.
（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；
（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；
（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）希望顾客参加抽奖.（Ⅲ）400
【解析】
试题分析：（Ⅰ）先确定从装有10个球的箱子中任摸一球的结果有10种，其中摸到红球的结果有4种，因此根据古典概型概率求法得
（Ⅱ）比较与3次抽奖的数学期望的大小，由于3次抽奖是相互独立，所以可视为独立重复试验，其变量服从二项分布
，由此可得数学期望为
，即三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为
元.
（Ⅲ）求概率最大时对应的奖金：由于变量服从二项分布
，所以作商得
，
，因此
最大，即获得400元的现金
试题解析：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有
种，摸到红球的结果共有
种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是
.……2分
（Ⅱ）设
表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则
，
所以.
由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的
均值为元.
由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖.……………7分
（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为
.
由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则.
于是，恰好
次中奖的概率为
，
.
从而，，
当
时，
；
当
时，
，
则最大.
所以，最有可能获得的现金奖励为
元.
于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励.………………12分
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