Question

已知y=f（x）的图象是由y=sinx图象经过如下变化而得：①y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，②将①中图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

，③将②中图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍
（1）求y=f（x）的最小正周期和对称轴
（2）△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C对边，且f(C)=2，c=1，ab=

3

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得f（x）的解析式，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性和对称性求得f（x）的最小正周期和对称轴．
（2）由f（C）=2sin（2C+

π

6

）=2求得C的值，再由条件利用余弦定理求得a、b的值．

解答：解：（1）把y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，可得函数y=sin（x+

π

6

）的图象，
再把所得图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的

1

2

，可得函数y=sin（2x+

π

6

）的图象，
再把图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，可得函数y=2sin（2x+

π

6

）的图象，
故y=f（x）=2sin（2x+

π

6

），它的最小正周期为

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈z，求得x=

kπ

2

+

π

6

，故对称轴方程为 得x=

kπ

2

+

π

6

，k∈z．
（2）由f（C）=2sin（2C+

π

6

）=2，可得 2sin（2C+

π

6

）=2，结合0＜C＜π 可得C=

π

6

．
再根据c=1，ab=

3

，a＞b ①，利用余弦定理可得 c²=1=a²+b²-2ab•cos

π

6

，即 a²+b²=4 ②．
并根据①、②解得a=

3

，b=1．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性 和对称性，余弦定理的应用，属于中档题．