题目内容
(2013•大连一模)定义在R上的函数f(x)满足f(3)=1,f(-2)=3,f′(x)为f(x)的导函数,已知y=f′(x)的图象如图所示,且f′(x)有且只有一个零点,若非负实数a,b满足f(2a+b)≤1,f(-a-2b)≤3,则
的取值范围是( )
b+2 |
a+1 |
分析:根据y=f′(x)图象得到函数的单调性,从而将f(2a+b)≤1化成f(2a+b)≤f(3),得到0≤2a+b≤3,同理化简f(-a-2b)≤3,得到-2≤-a-2b≤0.然后在aob坐标系内作出相应的平面区域,得到如图所示的阴影部分平面区域,利用直线的斜率公式即可求出
的取值范围.
b+2 |
a+1 |
解答:解:由y=f′(x)图象可知,当x=0时,f′(x)=0,
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
又∵a,b为非负实数,
∴f(2a+b)≤1可化为f(2a+b)≤1=f(3),可得0≤2a+b≤3,
同理可得-2≤-a-2b≤0,即0≤a+2b≤2,
作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域,
得到如图的阴影部分区域,
解之得A(0,1)和B(1.5,0)
而等于可行域内的点与P(-1,-2)连线的斜率,
结合图形可知:kPB是最小值,kPA是最大值,
由斜率公式可得:kPA=
=3,kPB=
=
,
故
的取值范围为[
,3]
故选:A
当x∈(-∞,0)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,
又∵a,b为非负实数,
∴f(2a+b)≤1可化为f(2a+b)≤1=f(3),可得0≤2a+b≤3,
同理可得-2≤-a-2b≤0,即0≤a+2b≤2,
作出以及a≥0和b≥0所对应的平面区域,
得到如图的阴影部分区域,
解之得A(0,1)和B(1.5,0)
而等于可行域内的点与P(-1,-2)连线的斜率,
结合图形可知:kPB是最小值,kPA是最大值,
由斜率公式可得:kPA=
1+2 |
0+1 |
0+2 |
1.5+1 |
4 |
5 |
故
b+2 |
a+1 |
4 |
5 |
故选:A
点评:本题在给出函数的导数图象基础之上,求满足不等式组的
的取值范围.着重考查了利用导数研究函数的单调性、直线的斜率公式和二元一元不等式组表示的平面区域等知识,属于中档题.
b+2 |
a+1 |
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