题目内容
2．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°+cos217°-sin 13°cos 17°；
②sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°；
③sin218°+cos212°-sin 18°cos 12°；
④sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos （-48°）；
⑤sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos （-55°）．
（1）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
（2）根据（1）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
分析 方法一：（1）选择②式，由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解．（2）发现推广三角恒等式为sin2α+cos2（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$，由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．
方法二：（1）同方法一．（2）发现推广三角恒等式为sin2α+cos2（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．由降幂公式，三角函数中的恒等变换应用展开即可证明．
解答 （本小题满分12分）
解：方法一：（1）选择②式，计算如下：
sin215°+cos215°-sin 15°cos 15°=1-$\frac{1}{2}$sin 30°=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$…（4分）
（2）三角恒等式为sin2α+cos2（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
证明如下：
sin2α+cos2（30°-α）-sin αcos（30°-α）
=sin2α+（cos 30°cos α+sin 30°sin α）2-sin α（cos 30°cos α+sin 30°sin α）
=sin2α+$\frac{3}{4}$cos2α+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α+$\frac{1}{4}$sin2α-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α-$\frac{1}{2}$sin2α
=$\frac{3}{4}$sin2α+$\frac{3}{4}$cos2α=$\frac{3}{4}$…（12分）
方法二：（1）同方法一．
（2）三角恒等式为sin2α+cos2（30°-α）-sin αcos（30°-α）=$\frac{3}{4}$．
证明如下：
sin2α+cos2（30°-α）-sin αcos（30°-α）
=$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1+cos?60°-2α?}{2}$-sin α（cos 30°cos α+sin 30°sin α）
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos 2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α）-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin αcos α-$\frac{1}{2}$sin2α
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos 2α+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$cos 2α+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin 2α-$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin 2α-$\frac{1}{4}$（1-cos 2α）
=1-$\frac{1}{4}$cos 2α-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$cos 2α=$\frac{3}{4}$…（12分）
点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，归纳推理，属于基本知识的考查．
