题目内容
【题目】如图,已知抛物线:
,过焦点
斜率大于零的直线
交抛物线于
、
两点,且与其准线交于点
.
(Ⅰ)若线段的长为
,求直线
的方程;
(Ⅱ)在上是否存在点
,使得对任意直线
,直线
,
,
的斜率始终成等差数列,若存在求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)存在点
或
,使得对任意直线
,直线
,
,
的斜率始终成等差数列.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)因为直线过焦点,所以设直线,与抛物线方程联立,转化为
,利用焦点弦长公式
,
,解得直线方程;
(Ⅱ)设,用坐标表示直线
的斜率,若成等差数列,那么
,代入(1)的坐标后,若恒成立,解得点
的坐标.
试题解析:(Ⅰ)焦点∵直线
的斜率不为
,所以设
,
,
由
得
,
,
,
,
,
∴, ∴
. ∴直线
的斜率
,
∵,∴
, ∴直线
的方程为
.
(Ⅱ)设,
,
同理,
,
∵直线,
,
的斜率始终成等差数列,
∴恒成立,
即恒成立.
∴,
把,
代入上式,得
恒成立,
.
∴存在点或
,使得对任意直线
,直线
,
,
的斜率始终成等差数列.
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