Question

20．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₂=3，S₅=25．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}满足b_n=x${\;}^{{a}_{n}}$（其中x为常数），求数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）设数列b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$，设G_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n ，求G_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及前n项和公式将已知条件a₂=3，S₅=25用首项及公差表示，列出方程组求出首项及公差，利用等差数列的通项公式求出通项；
（2）将a_n代入b_n，利用等比数列的前n项和公式，注意对x讨论，求出数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）将a_n代入b_n，利用数列的求和方法：错位相减法，化简整理，即可得到G_n．

解答 解：（1）设等差数列首项为a₁公差为d
由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}+d=3}\\{{S}_{5}=5{a}_{1}+10d=25}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=2}\end{array}\right.$，
则a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（2）b_n=x${\;}^{{a}_{n}}$=x^2n-1，
当x=0时，b_n=0，T_n=0；
当x=1时，b_n=1，T_n=n；
当x≠0且x≠1时，T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n
=x¹+x³+x⁵+…+x^2n-1=$\frac{x（1-{x}^{2n}）}{1-{x}^{2}}$；
（3）b_n=2${\;}^{{a}_{n}}$=2^2n-1，
G_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n
=1•2+3•2³+…+（2n-1）•2^2n-1，①
4G_n=1•2³+3•2⁵+…+（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，②
①-②得-3G_n=2+2（2³+…+2^2n-1）-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，
=2+$\frac{16（1-{4}^{n-1}）}{1-4}$-（2n-1）•2²ⁿ⁺¹，
即有G_n=$\frac{10+2•{4}^{n}•（6n-5）}{9}$．

点评 解决等差数列、等比数列两个特殊数列的有关问题，一般利用两个特殊数列的通项公式及前n项和公式列出关于基本量的方程组，求出基本量再解决．同时考查数列的求和方法：错位相减法，以及分类讨论的思想方法．