Question

14．函数$f（x）=cos（-\frac{x}{2}）+cos（\frac{4k+1}{2}π-\frac{x}{2}）\;，\;k∈Z\;，\;x∈R$．
（1）求f（x）的周期；
（2）f（x）在[0，π）上的减区间；
（3）若f（α）=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，$α∈（\;0\;，\;\frac{π}{2}）$，求$tan（2α+\frac{π}{4}）$的值．

Answer 1

分析 （1）由诱导公式和和差角（辅助角）公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，根据ω=$\frac{1}{2}$，可得f（x）的周期；
（2）根据正弦函数的图象和性质，求出f（x）的单调递减区间，进而可得f（x）在[0，π）上的减区间；
（3）若f（α）=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，可得$sinα=\frac{3}{5}$，进而根据同角三角函数的基本关系公式求出α的余弦和正切，再由二倍角的正切公式和两角和的正切公式，得到答案．

解答 解：（1）$f（x）=cos（-\frac{x}{2}）+cos（\frac{4k+1}{2}π-\frac{x}{2}）\;=cos\frac{x}{2}+cos（\;2kπ+\frac{π}{2}-\frac{x}{2}\;）$=$sin\frac{x}{2}+cos\frac{x}{2}=\sqrt{2}sin\;（\;\frac{x}{2}+\frac{π}{4}）$，（k∈Z）
∵ω=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{2}}}=4π$．                …（5分）
（2）由$\frac{π}{2}+2kπ≤\frac{x}{2}+\frac{π}{4}≤\frac{3}{2}π+2kπ\;，\;k∈Z$，
得$\frac{π}{2}+4kπ≤x≤\frac{5}{2}π+4kπ\;，\;k∈Z$．
又x∈[0，π），
令k=0，得$\frac{π}{2}≤x≤\frac{5}{2}π$；
令k=-1，得$-\frac{7π}{2}≤x≤-\frac{3}{2}π$（舍去）
∴f（x）在[0，π）上的减区间是$[\;\frac{π}{2}\;，\;π\;）$．     …（9分）
（3）由f（α）=$\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，得$sin\frac{α}{2}+cos\frac{α}{2}=\frac{{2\sqrt{10}}}{5}$，
∴$1+sinα=\frac{8}{5}$，∴$sinα=\frac{3}{5}$
又$α∈（\;0\;，\;\frac{π}{2}）$，
∴$cosα=\sqrt{1-{{sin}^2}α}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$
∴$tanα=\frac{sinα}{cosα}=\frac{3}{4}$，
∴$tan2α=\frac{2tanα}{{1-{{tan}^2}α}}=\frac{{2×\frac{3}{4}}}{{1-\frac{9}{16}}}=\frac{24}{7}$
∴$tan（2α+\frac{π}{4}）$=$\frac{{tan2α+tan\frac{π}{4}}}{{1-tan2αtan\frac{π}{4}}}=\frac{{\frac{24}{7}+1}}{{1-\frac{24}{7}}}=-\frac{31}{17}$．      …（14分）

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，诱导公式和和差角（辅助角）公式，同角三角函数的基本关系公式，二倍角的正切公式和两角和的正切公式，是三角函数的综合应用，难度中档．