题目内容
【题目】已知椭圆M：： 
（a＞0）的一个焦点为F（﹣1，0），左右顶点分别为A，B．经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点．
（1）求椭圆方程；
（2）当直线l的倾斜角为45°时，求线段CD的长；
（3）记△ABD与△ABC的面积分别为S1和S2 ， 求|S1﹣S2|的最大值．
【答案】
（1）解：因为F（﹣1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，
所以a2=4，所以椭圆方程为 
=1；
（2）解：因为直线的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，
所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到
，消掉y，得到7x2+8x﹣8=0，
所以△=288，x1+x2= 
，x1x2=﹣ 
，
所以|CD|= 
|x1﹣x2|= 
× 
= 
；
（3）解：当直线l无斜率时，直线方程为x=﹣1，
此时D（﹣1， 
），C（﹣1，﹣ ），△ABD，△ABC面积相等，|S1﹣S2|=0，
当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），
设C（x1，y1），D（x2，y2），
和椭圆方程联立得到 ，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12=0，
显然△＞0，方程有根，且x1+x2=﹣ 
，x1x2= 
，
此时|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|
=2|k（x2+x1）+2k|= 
= 
≤ 
= 
= 
，（k= 
时等号成立）
所以|S1﹣S2|的最大值为
【解析】（1）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（2）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（3）当直线l不存在斜率时可得，|S1﹣S2|=0；当直线l斜率存在（显然k≠0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k≠0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理可用k表示x1+x2 ， x1x2 ， |S1﹣S2|可转化为关于x1 ， x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
