题目内容
【题目】《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图,四棱锥中,底面
为平行四边形,
,
,
底面
.
(1)求证:平面
.试判断四面体
是否为鳖臑,若是,写出其每个面的直角(只需写出结论);若不是,说明理由;
(2)若,求点A到平面
的距离.
【答案】(1)四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为
,
,
,
(2)
【解析】
(1)利用线面垂直的判定定理进行证明,根据“鳖臑”定义进行判断即可;
(2)利用等体积转化方法求解.
(1)因为,
,由余弦定理得
.
从而,故
.
由平面
,可得
.
因为,所以
平面
.
由平面
,
平面
,可知四面体
的四个面都是直角三角形,
即四面体是一个鳖臑,其四个面的直角分别为
,
,
,
.
(2)因为为平行四边形,
,
,
,
所以,
,
,
.
所以的面积为
.
在中,
,
,
,所以
.
在中,
,
,
,
所以的面积为
.
设点A到平面的距离为d,则三棱锥
的体积为
.
因为平面
,所以三棱锥
的体积为
.
所以,
,
即点A到平面的距离为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某种产品的质量用其质量指标值来衡量)质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方(分别称为配方和
配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果:
配方的频数分布表:
指标值分组 | [90,94) | [94,98) | [98,102) | [102,106) | [106,110] |
频数 | 8 | 20 | 42 | 22 | 8 |
配方的频数分布表:
指标值分组 | [90,94) | [94,98) | [98,102) | [102,106] | [106,110] |
频数 | 4 | 12 | 42 | 32 | 10 |
(1)分别估计用配方、
配方生产的产品的优质品率;
(2)已知用配方生产的一件产品的利润(单位:元)与其质量指标值
的关系为
,估计用
配方生产的一件产品的利润大于
的概率,并求用
配方生产的上述
件产品的平均利润.
【题目】随着科学技术的飞速发展,网络也已经逐渐融入了人们的日常生活,网购作为一种新的消费方式,因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可.某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数,得到如下的相关数据(其中“x=1”表示2015年,“x=2”表示2016年,依次类推;y表示人数):
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y(万人) | 20 | 50 | 100 | 150 | 180 |
(1)试根据表中的数据,求出y关于x的线性回归方程,并预测到哪一年该公司的网购人数能超过300万人;
(2)该公司为了吸引网购者,特别推出“玩网络游戏,送免费购物券”活动,网购者可根据抛掷骰子的结果,操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”,则网购者可获得免费购物券500元;若遥控车最终停在“失败大本营”,则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是,方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格,网购者每抛掷一次骰子,遥控车向前移动一次.若掷出奇数,遥控车向前移动一格(从
到
)若掷出偶数遥控车向前移动两格(从
到
),直到遥控车移到第19格胜利大本营)或第20格(失败大本营)时,游戏结束。设遥控车移到第
格的概率为
,试证明
是等比数列,并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.
附:在线性回归方程中,
.