题目内容
【题目】以椭圆:
的中心
为圆心,
为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆
的左顶点为
,左焦点为
,上顶点为
,且满足
,
.
(1)求椭圆及其“准圆”的方程;
(2)若椭圆的“准圆”的一条弦
(不与坐标轴垂直)与椭圆
交于
、
两点,试证明:当
时,试问弦
的长是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)椭圆的方程为
;椭圆
的“准圆”方程为
;(2)弦
的长为定值
.
【解析】
试题分析:(1)求方程,关键是求,只要把两个已知条件转化为
的方程即可,由
得
,由
得
,联立后可得结论;(2)这是定值问题,解题时设直线
的方程为
,且与椭圆
的交点
,把直线方程与椭圆方程联立并消元后得关于
的一元二次方程,可得
,计算
,由
=0,可得
的关系式,问题是弦长为定值,由于弦是定圆中的弦,因此只要求得圆心到直线的距离
,如果
为定值,则弦长也为定值.
试题解析:(1)设椭圆的左焦点
,由
得
,又
,即
且
,所以
,
则椭圆的方程为
;椭圆
的“准圆”方程为
.
(2)设直线的方程为
,且与椭圆
的交点
,
联列方程组 代入消元得:
由
可得由
得
即
,所以
此时成立,
则原点到弦
的距离
,
得原点到弦
的距离为
,则
,
故弦的长为定值.
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