Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=

1 2 an+n(n为奇数) an-2n(n为偶数)

（1）求a₂，a₃，a₄，a₅；
（2）设b_n=a_2n+1+4n-2，n∈N^*，求证：数列{b_n}是等比数列，并求其通项公式；
（3） 求数列{a_n}前100项中的所有奇数项的和S．

Answer 1

分析：（1）分别将n=1，2，3，4代入到a_n+1=

1 2 an+n(n为奇数) an-2n(n为偶数)

中即可得到a₂，a₃，a₄，a₅的值．
（2）先仿照b_n=a_2n+1+4n-2可得到b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2，然后进行整理即可得到b_n+1=

1

2

b_n，从而可求出数列{b_n}的通项公式．
（3）先根据（2）中{b_n}的通项公式求出a2n+1=-(

1

2

)n-4n+2，进而代入即可得到s=a₁+a₃+…+a₉₉
=1-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)49]-4（1+2+…+49）+2×49，再结合等比数列和等差数列的前n项和的公式即可得到答案．

解答：解：（1）a2=

3

2

，a3=-

5

2

，a4=

7

4

，a5=-

25

4

（2）b_n+1=a_2n+3+4（n+1）-2=a_2n+2-2（2n+2）+4（n+1）-2
=a2n+2-2=

1

2

 a2n+1+(2n+1)-2= 

1

2

bn
∴数列{b_n}是公比为

1

2

的等比数列．
又∵b1=a3+4-2=-

1

2

，∴bn=-(

1

2

)n
（3）由（2）得a2n+1=-(

1

2

)n-4n+2
∴s=a₁+a₃+…+a₉₉=1-[

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)49]-4（1+2+…+49）+2×49
=(

1

2

)49-4802

点评：本题主要考查等比数列的证明和数列求和的组合法．考查等差数列和等比数列的前n项和的公式的运用．