Question

已知抛物线C：y=2x²，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N， （Ⅰ）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；
（Ⅱ）若，求k的值。

Answer 1

解：（Ⅰ）如图，设， 把y=kx+2代入得， 由韦达定理得， ∴，∴N点的坐标为， 设抛物线在点N处的切线l的方程为， 将代入上式得， ∵直线l与抛物线C相切， ∴， ∴m=k，即l∥AB。 （Ⅱ），则NA⊥NB， 又∵M是AB的中点， ∴， 由（Ⅰ）知， ， ∵MN⊥x轴， ∴， 又 ， ∴，解得k=±2， ∴当k=±2时，。