Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长和焦距都等于2， 是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为.

（Ⅰ）证明：直线的斜率为定值；

（Ⅱ）求面积的最大值，并求此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）, .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为（），则，解方程即可得解；

（Ⅱ）因为关于原点对称，所以，由（Ⅰ）可知的斜率，设方程为（且），与椭圆联立得得，利用弦长公式和点到直线距离，结合韦达定理可得，即可得解.

试题解析：

（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为（），则，解得，所以的方程为.

设，则，所以的斜率，因为，所以， 因为 ，所以

（Ⅱ）因为关于原点对称，所以，由（Ⅰ）可知的斜率，设方程为（且），到的距离.

由得，所以.

所以

当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为

此时直线的方程为，即