Question

（2013•红桥区二模）已知等比数列{a_n}的公比q≠1，a₁=3，且3a₂、2a₃、a₄成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}，b₁=q，b_n=3a_n-1+rb_n-1（n≥2，n∈N^*）（r为常数，且qr≠0，r≠3）．
①写出b₂，b₃，b₄；
②试推测出b_n用q，r，n表示的公式，并用数学归纳法证明你推测的结论．

Answer 1

分析：（1）根据3a₂、2a₃、a₄成等差数列，建立方程，求出公比，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）①利用数列递推式，代入计算，可求b₂，b₃，b₄；
②猜出通项，结合数列递推式，利用数学归纳法进行证明．

解答：解：（1）∵3a₂、2a₃、a₄成等差数列，
∴4a₃=3a₂+a₄，∴4a1q2=a1q3+3a1q
∵q≠0，a₁=3，
∴q²-4q+3=0
∵q≠1，∴q=3
∵a₁=3，∴an=3×3n-1=3ⁿ；
（2）①∵b₁=q，∴b₂=3a₁+rb₁=3（3+r）；b₃=3a₂+rb₂=3（3²+3r+r²）；
b₄=3a₃+rb₃=3（3³+3²r+3r²+r³）；
②b_n=3（3^n-1+3^n-2r+…+3r^n-2+r^n-1），
∵r≠3，∴b_n=

3(3n-rn)

3-r

用数学归纳法证明如下．
①n=2时，b2=

3(32-r2)

3-r

=3（3+r），结论成立；
②假设n=k时，结论成立，即b_k=

3(3k-rk)

3-r

∴n=k+1时，b_k+1=3a_k+rb_k=3•3k+

3r(3k-rk)

3-r

=

3(3k+1-rk+1)

3-r

即n=k+1时，结论成立
由①②可知结论成立．

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．