题目内容
【题目】已知椭圆
：
的左，右焦点分别为
，
，点
为椭圆上任意一点，点关于原点
的对称点为点
，有
，且当
的面积最大时为等边三角形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）与圆
相切的直线
：
交椭圆于
，
两点，若椭圆上存在点
满足
，求四边形
面积的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）依题意知：
，从而可得椭圆
的标准方程；
（2）利用直线
：
与圆
相切可得
，联立方程利用韦达定理可得
，代入椭圆方程可得
，表示四边形的面积
，借助函数的单调性可得答案.
解：（1）依题意知：，∴
，
∴椭圆的标准方程为：.
（2）∵直线：与圆相切，
∴原点到直线的距离为
，即，
∴
.
设
，
，
，
由
消去
得
，
∴
，
，
∴
，
∵
，
∴，
又
在椭圆上，∴
，
∴.
设
的中点为
，则
，
∴四边形
的面积为
.
令
，
则∵
，∴
，
∴
，
∴四边形面积的取值范围为.
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