题目内容
设不等式组所表示的平面区域为Dn,记Dn内的整点个数为an(n∈N*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前n项和为Sn,且Tn=.若对于一切的正整数n,总有Tn≤m,求实数m的取值范围.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{an}的前n项和为Sn,且Tn=.若对于一切的正整数n,总有Tn≤m,求实数m的取值范围.
(1)an=3n(n∈N*)(2)m≥.
(1)由x>0,y>0,3n-nx>0,得0<x<3.
∴x=1,或x=2.∴Dn内的整点在直线x=1和x=2上.
记直线y=-nx+3n为l,l与直线x=1、x=2的交点的纵坐标分别为y1,y2.
则y1=-n+3n=2n,y2=-2n+3n=n.∴an=3n(n∈N*).
(2)∵Sn=3(1+2+3+…+n)=,
∴Tn=,∴Tn+1-Tn=,
∴当n≥3时,Tn>Tn+1,且T1=1<T2=T3=.
于是T2,T3是数列{Tn}中的最大项,故m≥.
∴x=1,或x=2.∴Dn内的整点在直线x=1和x=2上.
记直线y=-nx+3n为l,l与直线x=1、x=2的交点的纵坐标分别为y1,y2.
则y1=-n+3n=2n,y2=-2n+3n=n.∴an=3n(n∈N*).
(2)∵Sn=3(1+2+3+…+n)=,
∴Tn=,∴Tn+1-Tn=,
∴当n≥3时,Tn>Tn+1,且T1=1<T2=T3=.
于是T2,T3是数列{Tn}中的最大项,故m≥.
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