题目内容
正项数列{an}的前项和满足：
－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝
，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<
.
－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn＝
，数列{bn}的前n项和为Tn.证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.（1）an＝2n（2）见解析
(1)解：由－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，
得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，bn＝，则bn＝
.
Tn＝
＝
＝.
故对于任意的n∈N*，都有Tn<.
－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.
由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.
于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.
综上，数列{an}的通项an＝2n.
(2)证明：由于an＝2n，bn＝
，则bn＝.Tn＝
＝
＝.故对于任意的n∈N*，都有Tn<
.
练习册系列答案
相关题目
为公差不为零的等差数列，首项
，
、
、 、
恰为等比数列，且
，
，
.
（用
表示）；
的前
项和为
, 求证：
（
中，若公差
，且
成等比数列，则公比
.
所表示的平面区域为Dn，记Dn内的整点个数为an(n∈N*)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．
.若对于一切的正整数n，总有Tn≤m，求实数m的取值范围．
，求数列{bn}的前n项和Sn.
中，
，则
（ ）