Question

11．已知函数f（x）=x³+3x²-1．
（1）若函数y=f（x）在相异两动点A、B处的切线平行，求证：直线AB恒过一个定点．
（2）在（1）在条件下，若直线AB的斜率为2，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），运用两直线平行的结论，结合中点坐标公式，即可得到恒过定点M，及坐标；
（2）求出点O到直线AB的距离，以及弦长AB，运用面积公式，即可得到．

解答 解：（1）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
f（x）=x³+3x²-1的导数为f′（x）=3x²+6x，
由两切线l₁∥l₂，得3x₁²+6x₁=3x₂²+6x₂，
化简可得，x₁+x₂=-2，则x₁²+x₂²=4-2x₁x₂，
则y₁+y₂=x₁³+x₂³+3x₁²+3x₂²-2=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）+3（x₁²+x₂²）-2
=-2（4-3x₁x₂）+3（4-2x₁x₂）-2=2，
则AB恒过定点M，为线段AB的中点，坐标为（-1，1）；
（2）直线AB的方程为y=2x+3，
点O到直线AB的距离为d=$\frac{3}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$，
k_AB=$\frac{{{x}_{1}}^{3}-{{x}_{2}}^{3}+3（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=x₁²+x₂²+x₁x₂+3（x₁+x₂）=4-x₁x₂-6=2，
则x₁x₂=-4，|AB|=$\sqrt{1+4}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{5}$•$\sqrt{4+16}$=10．
则△AOB的面积$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}$•10•$\frac{3}{\sqrt{5}}$=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线的位置关系和中点坐标公式、点到直线的距离公式和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．