Question

6．已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为{S_n}．满足a²_n+1=2S_n+n+4，a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若C_n=（-1）ⁿlog₂b_n-$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知得n≥2时，a²_n=2S_n-1+n-1+4，与已知相减得${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}+1$=（a_n+1）²，由$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}+1}\\{{{a}_{2}}^{2}=2{a}_{1}+1+4}\end{array}\right.$，解得a₁=2，再结合a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项，能求出数列{a_n}，{b_n}的通项公式．
（2）由c_n=（-1）ⁿlog₂b_n-$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•n-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=（-1）ⁿ•n-（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）∵各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为{S_n}，满足a²_n+1=2S_n+n+4，①
∴n≥2时，a²_n=2S_n-1+n-1+4，②
①-②，得：${{a}_{n+1}}^{2}-{{a}_{n}}^{2}$=2a_n+1，
∴${{a}_{n+1}}^{2}={{a}_{n}}^{2}+2{a}_{n}+1$=（a_n+1）²，
∵a_n＞0，∴a_n+1=a_n+1，
∴数列{a_n}是公差为1的等差数列，
又$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}={a}_{1}+1}\\{{{a}_{2}}^{2}=2{a}_{1}+1+4}\end{array}\right.$，解得a₁=2或a₁=-2（舍），
∴a_n=2+（n-1）×1=n+1．
∵a₂-1，a₃，a₇恰为等比数列{b_n}的前3项，
∴b₁=2+1-1=2，b₂=a₃=3+1=4，b₃=a₇=7+1=8，
∴q=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{4}{2}=2$，
∴${b}_{n}=2×{2}^{n-1}$=2ⁿ．
（2）c_n=（-1）ⁿlog₂b_n-$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=（-1）ⁿ•n-$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=（-1）ⁿ•n-（$\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$），
当n为偶数时，
T_n=（-1+2-3+4-5+…+n）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n}{2}$-$\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}$，
当n为奇数时，
T_n=（-1+2-3+4-5+…-n）-（$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n-1}{2}-n$-$\frac{1}{2}+\frac{1}{n+2}$
=$\frac{1}{n+2}-\frac{1}{2}-\frac{n+1}{2}$．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质和分组求和法及裂项求和法的合理运用．