Question

1．已知ABC的顶点坐标为A（1，0），B（4，3），C（6，-4），点P的横坐标为3，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$．
（1）求实数λ的值．
（2）试在边BC上求一点Q，使得$\overrightarrow{AQ}⊥\overrightarrow{BC}$．

Answer 1

分析 （1）根据条件便有3-1=λ（4-3），这样即可得出λ值；
（2）可设Q（x，y），根据Q点在边BC上，从而有$\overrightarrow{BQ}=λ\overrightarrow{BC}$，（0≤λ≤1），这样即可用λ表示Q点的坐标为Q（2λ+4，3-7λ），而由$\overrightarrow{AQ}⊥\overrightarrow{BC}$便可得到$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BC}=0$，进行数量积的坐标运算即可求出λ，从而得出Q点坐标，即在边BC上找到了点Q，使得$\overrightarrow{AQ}⊥\overrightarrow{BC}$．

解答 解：（1）点P的横坐标为3，且$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{PB}$；
∴3-1=λ（4-3）；
∴λ=2；
（2）设Q（x，y），则$\overrightarrow{BQ}=λ\overrightarrow{BC}$（0≤λ≤1）；
∴（x-4，y-3）=λ（2，-7）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-4=2λ}\\{y-3=-7λ}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=2λ+4}\\{y=3-7λ}\end{array}\right.$；
∴$\overrightarrow{AQ}=（2λ+3，3-7λ）$，$\overrightarrow{BC}=（2，-7）$；
$\overrightarrow{AQ}⊥\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{BC}=0$；
∴（2λ+3）•2+（3-7λ）（-7）=0；
∴$λ=\frac{15}{53}$；
∴Q点坐标为$（\frac{242}{53}，\frac{54}{53}）$．

点评 考查向量坐标的数乘运算，能由点的坐标求向量的坐标，共线向量基本定理，数量积的坐标运算，以及向量垂直的充要条件．