题目内容
【题目】已知f（x）=lnx﹣x+a+1
（1）若存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，求a的范围；
（2）求证：当x＞1时，在（1）的条件下， 
成立．
【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx﹣x+a+1（x＞0），
∴f′（x）= 
∴函数在（0，1）上，f′（x）＞0，在（1，+∞）上，f′（x）＜0，
∴函数在x=1处取得最大值f（1）=a，
∵存在 x∈（0，+∞）使得f（x）≥0成立，
∴a≥0；
（2）证明：令g（x）= 
，
则g′（x）=x+a﹣lnx﹣1，
∵f（x）=lnx﹣x+a+1≤f（1）=a，
∴x﹣lnx﹣1≥0，
∴g′（x）≥0
∵x＞1，
∴g（x）＞g（1）=0，
∴ 
成立．
【解析】（1）求导数，确定函数在x=1处取得最大值f（1）=a，即可求a的范围；（2）令g（x）= ，证明g′（x）≥0，即可证明．
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