Question

17．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点M，N，E，F分别是CD、AB、DD₁、AA₁上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线．

Answer 1

分析 要证明D，A，Q三点共线，即证明EF和MN的交点在两个平面的交线AD上，利用公理三可得结论．

解答 证明：∵E，F∈平面A₁D₁DA，
∴直线EF?平面A₁D₁DA，
又∵Q∈直线EF，
∴Q∈平面A₁D₁DA，
同理可证：Q∈平面BCDA，
∴Q∈平面A₁D₁DA∩平面BCDA，
∵平面A₁D₁DA∩平面BCDA=直线AD，
∴Q∈直线AD，
即D，A，Q三点共线．

点评 所谓线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点．（1）证明三线共点的依据是公理3．（2）证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在直线上的问题．实际上，点共线、线共点的问题都可以转化为点在直线上的问题来处理．