Question

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，，AB=2，若N为棱AB中点．
（1）求证：AC₁∥平面NB₁C；
（2）求A₁C₁与平面NB₁C所成的角正弦值．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连接BC₁和CB₁交于O点，连ON．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴O为BC₁的中点．又N为棱AB中点，
∴在△ABC₁中，NO∥AC₁，又NO?平面NB₁C，AC₁?平面NB₁C，
∴AC₁∥平面NB₁C；（6分）

（Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系，
∵N（0，0，0），，，，，
∴，
设平面NB₁C的法向量为n=（x，y，z），
∴，即，
令，得n=，
∵，
∴，
∴A₁C₁与平面NB₁C所成的角正弦值为．（13分）
分析：（1）求证：AC₁∥平面NB₁C，连接BC₁和CB₁交于O点，连ON．只需证明NO∥AC₁即可．
（2）求A₁C₁与平面NB₁C所成的角正弦值，利用空间直角坐标系，求出相关向量，求数量积即可求解．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．