Question

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长为2，侧棱长为

2

，
经过对角线AB₁的平面交棱A₁C₁于点D．
（Ⅰ）试确定D点的位置使平面AB₁D∥BC₁，并证明你的结论；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角A₁-AB₁-D的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由图形判断知，D为A₁C₁中点时平面AB₁D∥BC₁，证明用线面平行的判定定理即可．
（II）在图形中作出二面角的平面角，要充分利用已有的结论，作DM⊥A₁B₁于M，连接ME，证出角MED即平面角．

解答：解：（Ⅰ）D为棱A₁C₁中点时平面AB₁D∥BC₁，证明如下：
连接AB₁，与线AB₁交于点E，
∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁
∴E是中点，又D中点，
故DE是三角形A₁BC₁的中位线，故DE∥BC₁，
又BC₁不在平面AB₁D内，DE在面AB₁D内，
由线面平行的判定定理知平面AB₁D∥BC₁
（II）若D是中点，由题设条件AD=

3

，B₁D=

3

，
在等腰直角三角形B₁DA中，E是斜边中点，故DE⊥AB₁，计算得AB₁=

6

，故DE=

6

2

作DM⊥A₁B₁于M，连接ME，因为正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所以DM⊥面AA₁B₁B，即DM⊥AB₁，所以面DME⊥AB₁，
所以∠MED即二面角的平面角，由D是中点，所以DM=

3

2

在直角三角形DME中，sin∠MED=

MD

DE

=

3 2

6 2

=

2

2

所以∠MED=

π

4

点评：考查正三棱柱的几何性质、线面平行的判定定理、二面角的求法，技巧性强，对空间想象力要求较高．