Question

如图正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA1=

2

，AB=2，若N为棱AB中点．
（1）求证：AC₁∥平面NB₁C；
（2）求A₁C₁与平面NB₁C所成的角正弦值．

Answer 1

分析：（1）求证：AC₁∥平面NB₁C，连接BC₁和CB₁交于O点，连ON．只需证明NO∥AC₁即可．
（2）求A₁C₁与平面NB₁C所成的角正弦值，利用空间直角坐标系，求出相关向量，求数量积即可求解．

解答：证明：（Ⅰ）连接BC₁和CB₁交于O点，连ON．
∵ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，
∴O为BC₁的中点．又N为棱AB中点，
∴在△ABC₁中，NO∥AC₁，又NO?平面NB₁C，AC₁?平面NB₁C，
∴AC₁∥平面NB₁C；（6分）

（Ⅱ）建如图所示空间直角坐标系，
∵N（0，0，0），B1(1，

2

，0)，C(0，0，

3

)，A1(-1，

2

，0)，C1(0，

2

，

3

)，
∴

NC

=(0，0，

3

)，

NB1

=(1，

2

，0)
设平面NB₁C的法向量为n=（x，y，z），
∴

NC •n=0 NB1 •n=0

，即

3 z=0 x+ 2 y=0

，
令y=-

2

，得n=(2，-

2

，0)，
∵

A1C1

=(1，0，

3

)，
∴cos?

n

，

A1C1

?=|

n • A1C1

| n |•| A1C1 |

|=

2

6 •2

=

6

6

，
∴A₁C₁与平面NB₁C所成的角正弦值为

6

6

．（13分）

点评：本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．