Question

【题目】若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上单调递减，且f（﹣4）=0，则使得x|f（x）+f（﹣x）|＜0的x的取值范围是

Answer 1

【答案】{x|x＜0且x≠﹣4}
【解析】解：∵f（x）在（﹣∞，0]上为减函数，且f（x）为R上的偶函数，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，
又f（4）=0，∴f（﹣4）=f（4）=0，
画出f（x）的示意图如图所示：
∵f（x）为R上的偶函数，
∴x|f（x）+f（﹣x）|＜0等价于2x|f（x）|＜0，
由图可得，不等式的解集是{x|x＜0且x≠﹣4}，
所以答案是：{x|x＜0且x≠﹣4}．

【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．