题目内容

选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l经过点P(
1
2
,1)
,倾斜角α=
π
6
,曲线C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ-
π
4
)

(Ⅰ)写出直线l的参数方程和曲线C的直角坐标方程;
(Ⅱ)设l与曲线C相交于两个点A、B,求|PA|•|PB|.
分析:(Ⅰ)利用过点(x0,y0)、倾斜角为α 的直线的参数方程
x=x0+tcosα
y=y0+tsinα
,利用x=ρcosθ,y=ρsinθ把极坐标
方程化为直角坐标方程.
(Ⅱ)把直线方程代入圆的方程化简可得  t2+
1
2
t-
1
4
=0,利用根与系数的关系,以及
|PA|=|t1|,|PB|=|t2|求出|PA|•|PB|.
解答:解:(Ⅰ) 直线l的参数方程为
x=
1
2
+
3
2
t
y=1+
1
2
t
 (t为参数) ①,

由于曲线C的极坐标方程为ρ=
2
cos(θ-
π
4
)
=cosθ=sinθ,∴ρ2=ρcosθ+ρ sinθ,
∴x2+y2=x+y,即  (x-
1
2
)
2
+(y-
1
2
)
2
=
1
2
   ②.
(Ⅱ)把②代入①整理得 t2+
1
2
t-
1
4
=0,∴t1+t2=-
1
4
,t1t2=-
1
4

|PA|=|t1|,|PB|=|t2|,|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=
1
4
点评:本题考查求直线的参数方程的方法,把极坐标方程化为普通方程的方法,以及直线方程中参数的意义.
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