题目内容
【题目】
设平面上向量=(cosα,sinα) (0°≤α<360°),
=(-
,
).
(1)试证:向量与
垂直;
(2)当两个向量与
的模相等时,求角α.
【答案】(1)见解析;(2)α=30°,或α=210°.
【解析】
本试题主要是考查了向量的数量积的运算,以及向量的数量积的性质的运用,以及三角函数的变形运用,和三角方程的求解的综合试题.
(1)根据已知要证明向量与
垂直,则利用数量积为零即可.
(2)由||=1,|
|=1,且|
+
|=|
-
|,利用模相等,则平方后相等来解得关于角α的方程,然后解三角方程得到角的值.
解: (1)(+
)·(
-
)=(cosα-
,sinα+
)·(cosα+
,sinα-
)
=(cosα-)(cosα+
)+(sinα+
)(sinα-
)
=cos2α-+sin2α-
=0,
∴⊥
. ……4分
(2)由||=1,|
|=1,且|
+
|=|
-
|,平方得(
+
)2=(
-
)2,
整理得22-2
2+4
=0①.
∵||=1,|
|=1,∴①式化简得
·
=0,
·
=(cosα,sinα)·(-
,
)=-
cosα+
sinα=0,即cos(60°+α)=0.
∵0°≤α<360°,∴可得α=30°,或α=210°
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