题目内容
【题目】扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为
（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为
平方米，且高度不低于
米．记防洪堤横断面的腰长为
（米），外周长（梯形的上底线段
与两腰长的和）为
（米）.
⑴求关于的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过
米，则其腰长应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.
【答案】（1）
；（2）
；（3）外周长的最小值为
米，此时腰长为
米.
【解析】
试题（1）将梯形高、上底和下底用
或
表示，根据梯形面积的计算得到和的等式，从而解出，使问题得以解答，但不要忘记根据题目条件确定函数的定义域；（2）由（1）可得
，解这个不等式的同时不要忽略了函数的定义域就可得到结果；（3）即求（1）中函数的最小值，可以用导数判断函数的单调性后再求解，也可利用基本不等式求最小值.
试题解析：⑴
，其中
，
，
∴
，得
， 由
，得
∴； 6分
⑵得
∵
∴腰长的范围是10分
⑶
，当并且仅当
，即
时等号成立．
∴外周长的最小值为米，此时腰长为米． 16分
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