题目内容
3.已知函数f(x)=ax2-x+4.(1)若函数g(x)=lgf(x)在区间[1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(2)设函数h(x)=x2-(a+2)x-2(a+4),若存在两个非负整数m,n(0≤m<n),使得函数f(x)与h(x)在区间(m,n)上恒有f(x)<0且h(x)<0成立,求n的最大值,及n取最大值时a的取值范围.
分析 (1)若函数g(x)=lgf(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则函数f(x)=ax2-x+4在区间[1,+∞)上单调递增,且f(x)=ax2-x+4>0在区间[1,+∞)上恒成立,进而可得实数a的取值范围;
(2)若存在两个非负整数m,n(0≤x<n),使得函数f(x)与h(x)在区间(m,n)上恒有f(x)<0且h(x)<0成立,由h(x)<0的解集为N=(0,a+4),令f(x)=ax2-x+4<0的解集为M,则:(m,n)⊆M∩N,结合二次函数的图象和性质,分类讨论满足条件的a的范围,结合n为整数,可得答案.
解答 解:(1)∵函数g(x)=lgf(x)在区间[1,+∞)上单调递增,
∴函数f(x)=ax2-x+4在区间[1,+∞)上单调递增,且f(x)=ax2-x+4>0在区间[1,+∞)上恒成立,
则$\left\{\begin{array}{l}a>0\\ \frac{1}{2a}≤1\\ a-1+4>0\end{array}\right.$,
解得:a$≥\frac{1}{2}$
(2)解h(x)=x2-(a+2)x-2(a+4)=0得,x=a+4,或a=-2,
当a+4≤0时,函数h(x)>0在[m,n]上恒成立不满足要求;
∴a+4>0,即a>-4,
即h(x)<0的解集为N=(0,a+4),
令f(x)=ax2-x+4<0的解集为M,
则由题意可得:(m,n)⊆M∩N,
①当a<0时,
∵f(0)=4>0,故f(a+4)=a(a+4)2-(a+4)+4<0.
即a>-3,或a<-5,
又由a>-4,
∴-3<a<0,
此时n≤a+4<4,
∴m<n<4,
当且仅当$\left\{\begin{array}{l}-3<a<0\\ 3≤a+4<4\\ f(2)=4a+2≤0\end{array}\right.$,即-1≤a≤-$\frac{1}{2}$时,n的最大值为3;
②当a=0时,M∩N=∅,不合题意;
③当a>0时,
∵f(0)=4>0,故f(a+4)=a(a+4)2-(a+4)+4>0,
故$\left\{\begin{array}{l}0<\frac{1}{2a}<a+4\\△=1-16a>0\end{array}\right.$,此时不存在满足条件的a值,
综上,n的最大值为3,a的取值范围为:-1≤a≤-$\frac{1}{2}$.
点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质,复合函数的单调性,对数函数的图象和性质,恒成立问题,分类讨论思想,难度中档.
第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | |
甲 | 59 | 62 | 76 | 80 | 88 |
乙 | 56 | 66 | 76 | 78 | 89 |
(Ⅱ)若从甲、乙两人所有成绩大于70分的数据中,随机各抽取一个成绩进行比较,求甲成绩比乙成绩好的概率.
A. | [$\frac{1}{2}$,1) | B. | (1,2) | C. | (1,2] | D. | ($\frac{1}{2}$,1) |
A. | (-∞,-3) | B. | (-∞,-1) | C. | (1,+∞) | D. | (-3,-1) |