Question

在平面直角坐标系xOy中，已知动点P（x，y）（y≤0）到点F（0．-2）的距离为d₁，到x轴的距离为d₂，且d₁-d₂=2．
（I）求点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若A、B是（I）中E上的两点，

.

OA

•

.

OB

=-16，过A、B分别作直线y=2的垂线，垂足分别P、Q．证明：直线AB过定点M，且

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MP

•

.

MQ

为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：

PF

=(x，y+2)，根据|PF|-|y|=2  及 y≤0，得

x2 +(y+2)2

-|y|=2，化简可得动点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ） 联立

y = kx+b x2= -8y

 可得x²+8kx+8b=0，则x₁+x₂=-8k，x₁•x₂=8b．根据

.

OA

•

.

OB

=-16求出b=-4，直线AB的方程为y=kx-4，恒过定点M（0，-4），求得

MP

•

MQ

=4．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：

PF

=(x，y+2)．
由|PF|-|y|=2  及 y≤0，得 

x2 +(y+2)2

-|y|=2，
整理得  x²=-8y （y≤0）．即为所求动点P的轨迹E的方程．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（ x₂，y₂），由题意，知直线AB的斜率必定存在，
故设直线AB的斜率为k，方程为 y=kx+b．
联立

y = kx+b x2= -8y

 可得 x²+8kx+8b=0．则 x₁+x₂=-8k，x₁•x₂=8b．
∵

.

OA

•

.

OB

=-16=x₁•x₂+y₁•y₂=（k²+1 ） x₁•x₂+kb（x₁+x₂ ）+b² 
=8b（k²+1）-8bk²+b²．∴b²+8b+16=0，∴b=-4，
 又△=64 k²-32b＞0，∴b＜2k²，故 b=-4，经检验符合题意．
当 b=-4 时，直线 AB的方程为 y=kx-4，恒过定点 M（0，-4）．
由题意，知P （x₁，2），Q （x₂，2 ）．则

MP

•

MQ

=（x₁，6 ） （x₂，6 ）=x₁•x₂+36=4．
故当 b=-4时，

MP

•

MQ

=4，为定值．

点评：本题考查两个向量的数量积公式的应用，轨迹方程的求法，直线过定点问题，求出 b=-4，是解题的关键和难点．