题目内容

已知函数
(1)当时,求的单调区间;
(2)若的最大值为,求的值.
(1)上是增函数 (2)

试题分析:
(1)对函数求导,求导函数大于0和小于0的解集,该函数的导函数为二次函数,且含有参数,可以通过判断该二次函数的图像的开口零点个数等确定导函数大于0和小于0的解集,进而得到单调区间.
(2)通过(1)可以得到时,函数在区间[1,3]的单调性得到最大值求出8(并判断是否符合),a<1时,继续通过讨论f(x)的导函数,通过对导函数(为二次函数)的开口 根的个数 根的大小与是否在区间[1,3]来确定原函数在区间[1,3]上的最值,进而得到a的值.
试题解析:
(1)                  .1分
其判别式
因为, 所以,  ,对任意实数, 恒成立,
所以,上是增函数               .4分
(2)当时,由(1)可知,上是增函数,所以的最大值为,由,解得 (不符合,舍去)           6分
时 ,,方程的两根为
 ,               8分
图象的对称轴
因为   
(或), 所以   
 解得
①当,因为,所以 时,,是函数,的最大值,由,解得 (不符合,舍去).            12分
②当是减函数, 当时,是增函数.所以的最大值,由,解得 (不符合,舍去),        14分
综上所述
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