题目内容
已知函数
(1)当时,求的单调区间;
(2)若在的最大值为,求的值.
(1)当时,求的单调区间;
(2)若在的最大值为,求的值.
(1)在上是增函数 (2)
试题分析:
(1)对函数求导,求导函数大于0和小于0的解集,该函数的导函数为二次函数,且含有参数,可以通过判断该二次函数的图像的开口零点个数等确定导函数大于0和小于0的解集,进而得到单调区间.
(2)通过(1)可以得到时,函数在区间[1,3]的单调性得到最大值求出8(并判断是否符合),a<1时,继续通过讨论f(x)的导函数,通过对导函数(为二次函数)的开口 根的个数 根的大小与是否在区间[1,3]来确定原函数在区间[1,3]上的最值,进而得到a的值.
试题解析:
(1) .1分
其判别式,
因为, 所以, ,对任意实数, 恒成立,
所以,在上是增函数 .4分
(2)当时,由(1)可知,在上是增函数,所以在的最大值为,由,解得 (不符合,舍去) 6分
当时 ,,方程的两根为
, , 8分
图象的对称轴
因为
(或), 所以
由 解得
①当,,因为,所以 时,,在是函数,在的最大值,由,解得 (不符合,舍去). 12分
②当,,,,在是减函数, 当时,,在是增函数.所以在的最大值或,由,,解得 (不符合,舍去), 14分
综上所述
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