Question

已知函数f(x)＝ax³＋bx²－3x(a、b∈R)在点x＝－1处取得极大值为2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x₁、x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤c，求实数c的最小值．

Answer 1

（1）f(x)＝x³－3x（2）4

(1)f′(x)＝3ax²＋2bx－3.
由题意，得即解得
所以f(x)＝x³－3x.
(2)令f′(x)＝0，即3x²－3＝0，得x＝±1.

x	－2	(－2，－1)	－1	(－1，1)	1	(1，2)	2
f′(x)		＋		－		＋
f(x)	－2	增	极大值	减	极小值	增	2

因为f(－1)＝2，f(1)＝－2，所以当x∈[－2，2]时，f(x)_max＝2，f(x)_min＝－2.
则对于区间[－2，2]上任意两个自变量的值x₁、x₂，都有|f(x₁)－f(x₂)|≤|f(x)_max－f(x)_min|＝4，所以c≥4.所以c的最小值为4.