题目内容
已知函数(,),.
(Ⅰ)证明:当时,对于任意不相等的两个正实数、,均有成立;
(Ⅱ)记,
(ⅰ)若在上单调递增,求实数的取值范围;
(ⅱ)证明:.
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)(ⅰ),(ⅱ) 详见解析.
解析试题分析:(Ⅰ)当时,对于任意不相等的两个正实数、,均有成立,只需求出与的解析式,两式作差得,判断符号即可证明;(Ⅱ)记,若在上单调递增,求实数的取值范围,首先求出的解析式,从而得,若它在上单调递增,即它的导函数在上恒大于零,得恒成立,这是恒成立问题,只需把含有的放到不等式的一侧,不含的放到不等式的另一侧,即,转化为求的最大值问题,可利用导数求出最大值,从而可得实数的取值范围. 证明:,因为,只需证它的最小值为,可利用导数证明它的最小值为即可.
试题解析:(Ⅰ)证明: ,
,
,则 ①
,则,②
由①②知.
(Ⅱ)(ⅰ),,
令,则在上单调递增.
,则当时,恒成立,
即当时,恒成立.
令,则当时,,
故在上单调递减,从而,
故.(14分)
(ⅱ)法一:,令,
则表示上一点与直线上一点距离的平方.
令,则,
可得在上单调递减,在上单调递增,
故,则,
直线与的图象相切与点,点到直线的距离为,
则,故.
法二:,
令,则.
令
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