Question

（2011•孝感模拟）甲、乙两公司生产同一种新产品，经测算，对于任意x≥0，存在两个函数f（x），g（x）．当甲公司投入x万元用于产品的宣传时，若乙公司投人的宣传费用小于f（x）万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入x万元用于产品的宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g（x）万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败风险．
（I）请分别解释f（0）=17与g（0）=19的实际意义；
（Ⅱ）当f(x)=

x

3

+17，g(x)=

x

+19时，甲、乙两公司为了避免恶性竞争，经过协商，同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用．问甲、乙两公司各应投人多少宣传费用？

Answer 1

分析：（I）根据题意当甲公司投入x万元用于产品的宣传时，若乙公司投人的宣传费用小于f（x）万元，则乙公司有失败的风险，否则无失败风险；当乙公司投入x万元用于产品的宣传时，若甲公司投入的宣传费用小于g（x）万元，则甲公司有失败的风险，否则无失败风险，可知f（0）=17与g（0）=19的实际意义；
（II）设甲公司投入宣传费m万元，乙公司投入宣传费n万元，依题意，当且仅当

n≥f(m)= 1 3 m+17     (1) m≥g(n)= n +19     (2)

成立，双方均无失败的风险，然后消元解法可求出n的范围和m的范围，求出所求．

解答：解：（I）f（0）=17表示当甲公司不进行产品宣传时，乙公司为了保证无失败的风险，至少要投入17万元用于产品宣传；g（0）=19的实际意义是当乙公司进行产品的宣传时，甲公司为了保证无失败的风险，至少要投入19万元用于产品宣传．
（Ⅱ）设甲公司投入宣传费m万元，乙公司投入宣传费n万元，
依题意，当且仅当

n≥f(m)= 1 3 m+17     (1) m≥g(n)= n +19     (2)

成立，双方均无失败的风险
由（1）（2）得 n≥

1

3

(

n

+19)+17⇒3n-

n

-32≥0
⇒n≥25
∴m≥

n

+19=24，
即甲、乙两公司分别应投入24万元和25万元进行产品宣传．

点评：本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及函数的最值问题，属于中档题．