题目内容
三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是
①sinA+cosA=
②
•
＜0 ③b=3，c=3
，B=30° ④tanA+tanB+tanC＞0．
④
④
（只写序号）①sinA+cosA=
| 1 |
| 5 |
| AB |
| BC |
| 3 |
分析：①两边同时平方可得，sinAcosA=-
＜0，从而可判断
②由
•
＜0 可得π-B＞
π，可得0＜B＜
π，但是角A，C的范围无法确定
③由b=3，c=3
，B=30°，利用正弦定理可得，
=
可求sinC，进而可求C，A
④利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化简整理．
| 12 |
| 25 |
②由
| AB |
| BC |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
③由b=3，c=3
| 3 |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
④利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化简整理．
解答：解：①由sinA+cosA=
，两边同时平方可得，sinAcosA=-
＜0
∴sinA＞0，cosA＜0
∴A＞
π，三角形ABC是钝角三角形
②由
•
＜0 可得π-B＞
π
∴0＜B＜
π，但是角A，C的范围无法确定
③由b=3，c=3
，B=30°，利用正弦定理可得，
=
∴sinC=
=
∵c＞b
∴C＞B=30°
∴
或
均不是锐角三角形
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角
正确的判断有④
故答案为：④
| 1 |
| 5 |
| 12 |
| 25 |
∴sinA＞0，cosA＜0
∴A＞
| 1 |
| 2 |
②由
| AB |
| BC |
| 1 |
| 2 |
∴0＜B＜
| 1 |
| 2 |
③由b=3，c=3
| 3 |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
∴sinC=
| csinB |
| b |
| ||
| 2 |
∵c＞b
∴C＞B=30°
∴
|
|
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角
正确的判断有④
故答案为：④
点评：本题以三角形的形状的判断为载体，主要考查了同角平方关系、向量的夹角的定义、正弦定理及两角和的正切公式的综合应用．
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