题目内容

已知f（x）=4
3
sin
x
2
cos
x
2
-4sin2
x
2
+2．
（1）化简f（x）并求函数的周期
（2）在三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，对定义域内任意x，有f（x）≤f（A），若a=
3
，求
AB
•
AC
的最大值．
分析：（1）利用二倍角公式及辅助角公式对函数化简可得，f（x）=4sin（x+
π
6
），利用周期公式可求
（2）由f（x）≤f（A）可知f（A）为f（x）为最大值，从而可得，sin（A+
π
6
）=1，结合A的范围可求A，由
AB
•
AC
=bccosA=
1
2
bc，结合余弦定理及基本不等式可求最值
解答：解：（1）∵f（x）=2
3
sinx-2(2sin2
x
2
-1)
=2
3
sinx+2cosx=4sin（x+
π
6
）（3分）
∴T=2π（5分）
（2）∵?x∈R，有f（x）≤f（A）
∴f（A）为f（x）为最大值
∴f（A）=4即sin（A+
π
6
）=1
∴0＜A＜π
∴A+
π
6
=
π
2
，A=
π
3
（8分）
∵
AB
•
AC
=bccosA=
1
2
bc
又∵a2=b2+c2-2bccosA，a=
3

∴3=b2+c2-bc≥bc（当b=c时取等号）（10分）
∴bc≤3
∴
AB
•
AC
的最大值
3
2
，此时b=c=
3
（12分）
点评：本题主要考查了三角函数的二倍角公式、辅助角公式在三角函数化简中的应用，余弦定理及向量的数量积的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f(x-
3
2
)=f(x+
1
2
)恒成立，当x∈[2，3]时，f（x）=x，则当x∈（-1，0）时，函数f（x）的解析式为
f（x）=2-x
f（x）=2-x
．
已知f（x）=2sin（x+
π
6
）-
4
3
3
tanα•cos2
x
2
，α∈（0，π） 且f（
π
2
=
3
-2）．
（1）求α；
（2）当x∈[
π
2
，π]时，求函数y=f（x+α）的值域．
已知f（x）=ax+b的图象如图所示，则f（3）=
3
3
-3
3
3
-3
．
已知f（x）=2x2+3xf′（2），则f′（0）=
-12
-12
．
已知f（x）=cos（2x-
π
6
）+cos（2x-
5π
6
）-2cos2x+1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[-
π
4
，
π
4
 ]上的最大值和最小值．

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