Question

已知a，b，c分别是三角形ABC中角A，B，C的对边，关于x的方程b（x²+1）+c（x²-1）-2ax=0有两个相等的实根且sinCcosA-cosCsinA=0，则△ABC的形状为（　　）

A．等腰非等边三角形

B．等边三角形

C．直角非等腰三角形

D．等腰直角三角形

Answer 1

分析：由已知方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0列出关系式，利用勾股定理的逆定理判断出B为直角，然后利用两角差的正弦函数公式化简已知的等式，根据C-A的范围，得到A与C相等，进而得到原三角形为等腰直角三角形．

解答：解：∵（b+c）x²-2ax+（b-c）=0有相等实根，
∴△=4a²-4（b+c）（b-c）=0，
∴a²+c²-b²=0，∴B=90°，
∵sinCcosA-cosCsinA=0，∴sin（C-A）=0，
∵-

π

2

＜C-A＜

π

2

，
∴C-A=0，即A=C，
∴△ABC是B为直角的等腰直角三角形．
故选D．

点评：本题考查学生掌握根的判别式与方程解的关系，考查两角和与差的正弦函数公式，属于中档题．