题目内容
【题目】如图,某企业的两座建筑物AB,CD的高度分别为20m和40m,其底部BD之间距离为20m.为响应创建文明城市号召,进行亮化改造,现欲在建筑物AB的顶部A处安装一投影设备,投影到建筑物CD上形成投影幕墙,既达到亮化目的又可以进行广告宣传.已知投影设备的投影张角∠EAF为,投影幕墙的高度EF越小,投影的图像越清晰.设投影光线的上边沿AE与水平线AG所成角为α,幕墙的高度EF为y(m).
(1)求y关于α的函数关系式,并求出定义域;
(2)当投影的图像最清晰时,求幕墙EF的高度.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)分别在直角三角形中求出和
,然后根据
可求出最后结果;(2)当投影的图像最清晰时,幕墙EF的高度最小,即求
的最小值,利用两角差的正切函数公式与基本不等式相结合,可得最值.
试题解析:(1)由AB=20m,CD=40m,BD=20m可得,∠CAG=,∠GAD=
,
又投影设备的投影张角∠EAF为,所以
,
所以G一定在EF上,所以,
所以.
(2)当投影的图像最清晰时,幕墙EF的高度最小,即求y的最小值
由(1)得
,
因为,所以
,
所以,
当且仅当,即
时取等号,
又,所以满足题意,
此时, .
答:当时,投影的图像最清晰,此时幕墙EF的高度为
m.
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