Question

10．已知函数f（x）=|x-2|-|x+1|．
（Ⅰ）求f（x）的最值；
（Ⅱ）解不等式f（x）≥x²-2x．

Answer 1

分析 （1）分类讨论化简函数的解析式，再依据单调性求得函数的最值．
（2）分类讨论去掉绝对值，分别求出不等式的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）函数f（x）=|x-2|-|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{3，x≤-1}\\{-2x，-1＜x＜2}\\{-3，x≥2}\end{array}\right.$，
再结合函数的单调性可得函数f（x）的最大值为3，最小值为-3．
（2）当x≤-1时，x²-2x≤3，求得x=1；
当-1＜x＜2时，x²-2x≤-2x+1，求得-1＜x≤1；
当x≥2时，x²-2x≤-3，求得x∈∅；
综合上述，不等式的解集为：[-1，1]．

点评 本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题．